Български | English
 

 

 

 

 

За контакти: 

 

0877 / 10 30 08

 
 
 
 

Изследване на функция  - Растене, намаляване и екстремуми.

Изследва се особеностите на релефа на графиката на дадена функция  в зависимост от поведението на нейната производна. Основните резултати тук са следствия главно от формулата на Тейлър, което подчертава нейното особено значение в математическия анализ. Функцията  се нарича монотонно растяща (намаляваща) в   отворения интервал , когато за всеки , , е изпълнено  . Ако неравенствата са строги, то функцията се нарича строго монотонно растяща (намаляваща). Някои функции, например линейните, са монотонни над цялата си дефиниционна област. За други, по-сложно устроени функции, дефиниционната област обикновено се разделя на интервали, във всеки от които функцията е монотонно растяща или намаляваща. Нека  е диференцируема в  и , . Тогава от теоремата на Лагранж за крайните нараствания имаме  , следователно знакът на разликата , който определя монотонността, изцяло зависи от стойностите на производната.  Нека функцията  е диференцируема в отворения интервал . Тогава Ако  , за всяко , то функцията  е монотонно растяща (намаляваща) в Ако  , за всяко , то функцията  е строго монотонно растяща (намаляваща) в . Да разгледаме функцията  

За производната намираме , следователно при , функцията  е строго монотонно растяща, а при , функцията  е строго монотонно намаляваща. От тук в частност следва, че в точката  функцията има строг локален минимум, а в точката  има строг локален максимум. Константите са единствените функции, които са едновременно монотонно растящи и монотонно намаляващи съгласно даденото определение. Естествено, не съществува функция, която да бъде едновременно строго монотонно растяща и строго монотонно намаляваща.

 Нека функцията  е непрекъсната в някаква -околност , , на точката  и диференцируема в тази околност, с изключение евентуално на самата точка  (диференцируема във всеки от интервалите  и ). Тогава, ако  за  и  за , то  е точка на строг локален минимум за . Аналогично, ако  за  и  за , то  е точка на строг локален максимум за . Прилага се ефективно, когато екстремалната точка е ъглова или рогова за графиката на . Функцията  има локален минимум в точката , която е рогова точка и  и .

 

Тук  не е диференцируема в . Типичната ситуация обаче на строг локален екстремум в дадена точка  е когато функцията е диференцируема в тази точка и можем да приложим теоремата на Ферма, според която в този случай . Анулирането на производната е само необходимо условие за екстремум. За функцията , в точката  имаме , но  не е точка на екстремум.