Български | English
 

 

 

 

 

За контакти: 

 

0877 / 10 30 08

 
 
 
 

 Пресмятане на детерминанти чрез елементарни преобразувания.

 

Една детерминанта допуска сравнително лесно пресмятане въз основа на основните свойства. Върху детерминантата последователно се прилагат елементарни преобразувания с цел тя да бъде приведена към триъгълна форма, след което нейната стойност се определя. Разглеждаме следните елементарни преобразувания.

1) Смяна местата на два реда (стълба). При това преобразуване се променя единствено знакът на детерминантата.

2)  Умножаване на един ред (стълб) с число и прибавянето му към друг ред (стълб). При това преобразуване стойността на детерминантата не се променя.

3) Умножаване на даден ред (стълб) с число . При това преобразуване стойността на детерминантата се умножава с .

  Доказателство. Първо да обърнем внимание, че ако детерминантата на една матрица е различна от нула (равна на нула), то след преобразуванията нейната детерминанта продължава да бъде различна от нула (равна на нула). По условие , следователно в първия стълб има ненулеви елементи. Тогава можем да осигурим елементът в горния ляв ъгъл да бъде различен от нула, след което да направим всичките елементи под него да бъдат нули.  Матрицата ще приеме вида

    ,

където чрез 0 са означени нулеви елементи, чрез * е означен елемент сигурно различен от нула, а чрез # са означени елементи, за които се допуска да приемат всякакви стойности. Да разгледаме сега втория стълб. Между елементите с номера по-големи или равни на две сигурно има поне един ненулев. Иначе разсъждавайки както при доказателството на твърдение 2.4 ще направим заключение, че , което противоречи на условието. Тогава можем да приведем матрицата във вида

  .

Продължавайки по-нататък с останалите редове ще приведем матрицата в горна триъгълна форма, при което по главния диагонал ще има само ненулеви елементи,

            .

За да приведем по нататък  в диагонален вид е достатъчно да приложим последователно свойствата отначало върху последния стълб, после върху предпоследния и т.н., докато стигнем до втория стълб. Елементарните преобразувания са обратими, което означава, че посредством тях можем да се върнем към първоначалната форма на една матрица, когато тя е била променена чрез тях. Описаният метод на преобразуване на дадена матрица е общ начин за намиране на нейната детерминанта понеже или в процеса на преобразуване ще се уверим, че детерминантата е равна на нула или ще сведем детерминантата до горна триъгълна, за която стойността е равна на произведението на елементите от главния диагонал. Нека матрицата  има блокова структура  

            ,

където  е квадратна матрица от ред ,  е квадратна матрица от ред , а  е някаква  матрица. В долния ляв ъгъл стои  матрица, чиито елементи са нули (нулев блок). Тогава  . Същата формула е вярна, когато  има вида    . За доказателство да преобразуваме матрицата  съгласно описаната по-горе схема чрез правилата действайки отначало само върху редовете и стълбовете на . Лесно се забелязва, че прилагането на тези правила не променя верността на свойство 8, следователно то ще бъде доказано, ако в процеса на преобразуване достигнем до матрици, за които въпросното свойство е вярно. Ако , то в процеса на преобразуване  ще приеме горна триъгълна форма. Ако , то в някой от стълбовете на  ще достигнем до ситуация, в която всичките елементи под съответния диагонален и самият диагонален елемент ще бъдат нули. Но тогава и детерминантата на  ще бъде нула по същите причини, понеже в цялата матрица  елементите под този диагонален елемент както и самият той ще бъдат нули, следователно в случая  свойство 7 е доказано. Ако , то след привеждане  в горна триъгълна форма ще продължим да преобразуваме вече матрицата , а едновременно с това разбира се и матрицата . Случаят когато  се третира аналогично на случая . Ако , то матрицата  може да се приведе в горна триъгълна форма. В крайна сметка ще получим цялата матрица  в горна триъгълна форма, а в този случай свойство 7 става очевидно, понеже всичките детерминанти от формулата (2.11) са произведения на елементите си от главния диагонал.

            Да разгледаме сега следните елементарни преобразувания.

Т1) Смяна местата на два реда или на два стълба.

Т2) Умножаване на един ред с число и прибавянето му към друг ред.

Нека  е квадратна матрица от ред . Тогава посредством елементарните преобразувания матрицата  може да бъде доведена до диагонална с различни от нула елементи по главния диагонал или до матрица, която съдържа нулев ред. Ако  е нулевата матрица, то няма какво да се доказва. Нека  има ненулеви елементи. Можем да осигурим ненулев елемент в горния ляв ъгъл на преобразуваната матрица, след което да анулираме елементите в първия стълб под него, като по този начин ще приведем  във вида. Ако  и в останалата част на матрицата, от втория ред нататък и от втория стълб нататък има само нули, то твърдението е доказано. Ако там има поне един ненулев елемент, можем да го поставим на второ място по главния диагонал, след което да анулираме елементите под него, като по този начин ще приведем матрицата. Ако  и в останалата част на матрицата, от третия ред нататък и от третия стълб нататък има само нули, то твърдението е доказано. Ако там има поне един ненулев елемент, то продължаваме с описаното действие. Този процес ще приключи когато  се приведе в горна триъгълна форма или когато в оставащата част на матрицата има само нули. Във втория случай получаваме матрица с нулеви редове, а в първия случай получаваме горна триъгълна матрица с различни от нула елементи по главния диагонал, която можем да преобразуваме до диагонална . Първият случай съответства на , а втория на . ■

            6. Детерминанта на Вандермонд. На много възлови места в линейната алгебра се появява детерминантата